月刊「理系への数学」幾何大王からの挑戦状
角度の問題 #7 解答例
→問題

証明

∠ABC+∠BCD=181°より, ∠APD=1°.

(四角形AEPCに着目)
CEとAPの交点をGとおく.
∠CAP=61°, ∠ECA=59°, ∠PCE=59°.
線分CAのA側の延長上に, ∠AHG=30°となるように点Hをとると, ∠AHG=∠AEGより,4点AHEGは同一円周上にあり, ∠GHE=∠GAE=30°.
直線HEと直線CPの交点をP'とおくと, ∠P'CG=∠GCH(=59°), ∠CHG=∠GHP'(=30°)より, 点Gは △CHP'の内心であり, ∠HP'G=∠GP'C=1°.
よって, ∠GP'C=∠APD=∠GPCとなり,点Pと点P'は一致する.
∴ ∠EPA=∠HP'G=1°.

(四角形DBPFに着目)
BFとDPの交点をIとおく.
∠PDB=58°, ∠DBF=62°, ∠FBP=59°, ∠BID=60°.
∠BIDの二等分線と直線BPの交点をJとおくと, ∠JBD=59°=(180°-∠DBI)/2より, Jは △DBIの傍心であり, ∠BDJ=(180°-∠IDB)/2=61°.
∠BID+∠IDJ=179°なので,直線IBと直線DJの交点をKとおくと, 点KはDから見てJ側にあり, ∠JKI=1°.
∠JKI=∠APD=∠JPIより,4点JKPIは同一円周上にある.
∠BIJ=30°, ∠IJP=29°なので, ∠FKP=∠IKP=∠IJP=29°=∠FDP.
よって,4点DKPFは同一円周上にあり, ∠DPF=∠DKF=1°.

以上より, ∠EPA=∠DPF(=1°).


http://www.gensu.co.jp/saito/langley/ の系列でいうと,四角形AEPCでは系列1-1(x=1)の関係が,四角形DBPFでは系列1-4(x=149)の関係が成立しています.