月刊「理系への数学」幾何大王からの挑戦状
角度の問題 #23 解答例
→問題

答え ∠ADE=50°

証明

BEを1辺とする正三角形BFEをBEから見てCと同じ側に作り,直線BAと直線FCの交点をGとする.
∠CBF=60°-∠EBC=40°.
BC=BE=BFなので,Bは △EFCの外心であり, ∠CEF=∠CBF/2=20°, ∠EFC=∠EBC/2=10°, ∠ACG=∠EFC+∠CEF=30°.
また, BE=BC, ∠EBC=20°より ∠BCA=80°, ∠ABC=30°, ∠GAC=∠ABC+∠BCA=110°.
∠CGA=180°-∠GAC-∠ACG=40°.
ここで, ∠ACD=15°=∠ACG/2, ∠DAC=55°=∠GAC/2より,点Dは △ACGの内心であり, ∠CGD=∠DGA=∠CGA/2=20°.
また, ∠GBF=∠ABE+∠EBF=70°, ∠BFG=∠BFE+∠EFC=70°より,GB=GFであり,これとEB=EFより,EGは ∠FGBの二等分線なので,Dは直線GE上にある.
∴ ∠AED=180°-∠DGA-∠GAC=50°.