1807年に当時の数学界の大御所ラグランジュ，ラプラス，ラクロア，モンジュより構成された委員会に出版を拒絶されたフーリエの本『熱の解析的理論』は1822年に改訂された形で出版された．
この書に展開された考察は後の数学に基礎的な部分から応用の部分に至るまでの広範囲において深く時代を超えて影響を与えているものである．フーリエ級数は三角関数とも呼ばれるがこれはカントールによる洞察により集合論を生み出し数学基礎論の発生を促した．
またフーリエ級数はヒルベルト空間論の基本的な構造を予見しており現

第1章 フーリエ級数はなぜ収束するか　
第2章 連続関数のフーリエ級数展開　
第3章 フーリエ変換と反転公式　
第4章 フーリエ変換とヒルベルト空間　
第5章 フーリエ級数展開とヒルベルト空間
第6章 偏微分方程式とフーリエ解析　
第7章 振動積分とフーリエ変換