月刊「理系への数学」幾何大王からの挑戦状
角度の問題 #2 解答例
→問題

答え ∠BCD=24°

証明

∠CAE=∠ECA=42°, ∠AEC=96°.
∠DEA=∠EAD=48°-42°=6°, ∠ADE=168°.
DEを1辺とする正五角形DEFGHを,直線DEからみてCと同じ側に作ると,
∠DEF=108°, ∠FEC=108°-6°-96°=6°=∠DEAであり, EF=ED, EC=EAなので, △FEC≡△DEA.
∴ ∠EFC=∠EDA=168°, ∠FCE=∠DAE=6°, EF=FC.
∠EFG=108°, ∠GFC=168°-108°=60°であり, FG=EF=FCなので,△GFCは正三角形であり, 対称性より ∠FCD=30°.
∠BCD=∠FCD-∠FCE=24°.