月刊「理系への数学」幾何大王からの挑戦状
角度の問題 #5 解答例
→問題

証明

∠CDB=36°, ∠CAB=72°.
線分BD上に ∠BCE=18°となるように点Eをとると,EB=EC.
∠CEB=144°=2∠CABより, Eは △ABCの外心であり,EA=EC.
∠DEC=36°=∠CDEより, EC=CDであり, ∠ECD=108°なので, 線分EC,CDを2辺とする正五角形を描くことができる.
その正五角形をECDFGとすると, ∠EDG=36°.
∠AEC=2∠ABC=48°より, ∠GEA=108°-48°=60°で, EG=EC=EAより, △GEAは正三角形となり, 対称性より, ∠BDA=∠EDG/2=18°=∠DBC.
∴ AD//BC.