月刊「理系への数学」幾何大王からの挑戦状
角度の問題 #8 解答例
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証明

直線ADと直線BCの交点をQとおく.

(四角形ABCDに着目)
∠CDB=58°, ∠CAB=61°.
ACとBDの交点をGとおくと, ∠GBC=∠BCG=30°より, GB=GC.
線分CD上に ∠CHG=62°となるように点Hをとると, ∠GCH=∠CHGより, GH=GC.
∠HGC=56°, ∠HGB=176°であり, GH=GC=GBなので, ∠GBH=∠BHG=2°.
ACとBHの交点をIとおくと, ∠HIC=∠HGI+∠IHG=58°=∠HDGとなり, 4点GIHDは同一円周上にある.
∴ ∠IDG=∠IHG=2°=∠GBI.
∴ ID=IB.
ここで,∠ABI=61°=∠IABより, IA=IB=IDであり, ∠DAI=∠IDAとなる.
∠DIC=∠DGI+∠IDG=62°より, ∠DAC=∠DAI=31°, ∠BDA=∠BGA-∠DAC=29°.
∠BCD+∠CDA=179°なので, 点QはAから見てDと逆側にあり, ∠DQC=1°.

(四角形AQECに着目)
∠CAB=61°, ∠CAE=91°, ∠ECQ=29°.
直線CQに対しAと対称の位置に点Jをとると, ∠QCA=30°より, △CAJは正三角形であり, ∠AEC=30°=∠AJC/2より,点Jは △CAEの外心となる.
∴ ∠CEJ=∠JCE=30°-29°=1°.
また,対称性より, ∠CQJ=∠AQC=1°=∠CEJとなり, 4点CQEJは同一円周上にある.
∴ ∠JQE=∠JCE=1°.
∠CQE=∠CQJ+∠JQE=2°.

(△DQFと点Bに着目)

∠FDB=87°, ∠DBF=62°.
直線BDに対しQと対称の位置に点Kをとると, ∠QBD=150°より, △BQKは正三角形.
対称性より ∠BKD=∠DQB=1°, ∠KDB=∠BDQ=29°.
∠FBK=150°-62°=88°.
半直線BF上に, ∠KF'B=88°となるように点F'をとると, KF'=KB=KQより,点Kは △BQF'の外心であり, ∠BKF'=4°より, ∠BQF'=2°, ∠QF'B=∠QKB/2=30°.
また, ∠DKF'=4°-1°=3°, ∠DQF'=2°+1°=3°=∠DKF'より, 4点DQKF'は同一円周上にあり, ∠QF'D=∠QKD=61°.
∠BF'D=∠QF'D-∠QF'B=31°=∠BFDなので,点F'と点Fは一致し, ∠BQF=∠BQF'=2°.

∠CQE=∠BQFより,3点FEQは同一直線上にある.
よって,3直線AD,BC,EFは1点で交わる.


http://www.gensu.co.jp/saito/langley/の系列でいうと,四角形ABCDでは系列1-17(x=31)の関係が,四角形AQECでは系列1-15(x=119)の関係が,△DQFと点Bでは系列1-16(x=31)の関係が成立しています.