月刊「理系への数学」幾何大王からの挑戦状
角度の問題 #15 解答例
→問題

証明

△DBEの外心をFとすると, FE=FD=FBであり, ∠DFE=2∠DBE=60°より, △DFEは正三角形.
∠EDB=810°/7,
∠DBF=∠FDB=∠EDB-60°=390°/7.
∠FEB=∠EBF=∠DBF-30°=180°/7.
線分BFのF側の延長上にBE=BGとなるような点Gをとると,
∠BGE=∠GEB=540°/7, ∠GEF=∠GEB-∠FEB=360°/7,
∠EFG=360°/7=∠GEFより,GE=GFで,
対称性より直線DGは∠EDFおよび∠FGEの二等分線.
∴ ∠EDG=30°, ∠DGE=270°/7.
∠GDC=∠EDC-30°=270°/7=∠DGEより, EG//DC.
さらに,∠CEB=∠CAB+∠ABE=270°/7,
∠GEC=∠GEB-∠CEB=270°/7=∠DGEより,
四角形EDCGはEG//DC,ED=GCの等脚台形となり,2点D,Cは,線分EGの垂直二等分線を軸として互いに対称の位置にある.
BE=BGより,点Bは線分EGの垂直二等分線上にあるので,
BD=BC.
∠CDB=∠EDB-∠EDC=330°/7,
∠ABC=∠DBC=180°-2∠CDB=600°/7,
∠BCA=180°-∠CAB-∠ABC=600°/7=∠ABC.
∴ AB=AC.