月刊「理系への数学」幾何大王からの挑戦状
角度の問題 #17 解答例
→問題

答え ∠CAD=77°

証明

∠DBC=180°-∠BCD-∠CDB=30°. 線分DAのA側の延長上に,DE=DCとなるように点Eをとると, ∠EDB=∠CDBより,二辺夾角相等で △DBE≡△DBCとなる. よって,BE=BC, ∠DBE=∠DBC=30°となり,△EBCは正三角形. また,∠BEA=∠BCD=13°, ∠EBA=∠DBE-∠ABD=13°=∠BEAなので, △AEBはAE=ABの二等辺三角形となり, 対称性より, ∠ACE=∠ACB=30°. ∠CEA=60°-∠BEA=47°, ∠CAD=∠CEA+∠ACE=77°.