月刊「理系への数学」幾何大王からの挑戦状
角度の問題 #27 解答例
→問題

証明

DBを1辺とする正三角形DBFをDBから見てCと同じ側に作り, △DBFの内心をGとする.
また,線分DGのG側の延長上に, DH=DCとなる点Hをとる.
∠DBC=30°より,Gは直線BC上にあり,直線BCは線分DFの垂直二等分線である.
よって, ∠FCB=∠BCD=12°.
∠DGC=∠CGF=∠FGH=60°,
∠CDH=180°-∠DGC-∠BCD=108°.
DH=DCより, ∠DHC=∠HCD=36°.
∠HCF=36°-12°-12°=12°=∠FCGなので, Fは△GHCの内心となり, ∠GHF=∠GHC/2=18°.
直線DHは線分BFの垂直二等分線なので, ∠BHG=∠GHF=18°.
ここで, ∠HCB=24°=∠EBCより, BE//HCであり, ∠BHC=18°+36°=54°, ∠HCE=24°+30°=54°=∠BHCなので, 四角形BHCEは BH=ECの等脚台形となる.
線分HCの垂直二等分線をmとすると,mはBEの垂直二等分線でもあり,
DH=DCよりDはm上にあるので, DB=DEとなる.