答え　∠DBC=34°

証明

∠ABD=∠BDAより， AB=AD．
∠DAB=180°-∠ABD-∠BDA=154°，
∠DAC=∠DAB-∠CAB=51°，
∠CDA=180°-∠DAC-∠ACD=86°．
直線ABを軸としてDと対称の位置に点Eを取ると，対称性より ∠BAE=∠DAB=154°， AE=AD．
∠EAD=360°-∠BAE-∠DAB=52°．
線分DC上に ∠DAF=8°となる点Fを取ると， ∠AFD=180°-∠FDA-∠DAF=68°=∠FDAより， AF=AD．
∠EAF=∠EAD+∠DAF=60°， AF=AD=AEより， △EAFは正三角形で， AF=EF．
∠FAC=∠DAC-∠DAF=43°=∠ACFより， AF=CF．
∠CFA=180°-∠AFD=94°であり， AF=EF=CFより３点A,E,CはFを中心とする同一円周上にあるので，円周角の定理より ∠CEA=∠CFA/2=47°．
∠EAC=∠EAD+∠DAC=103°=∠CAB， AE=AD=ABより， △AEC≡△ABC（二辺夾角相等）なので，∠ABC=∠CEA=47°．
∠DBC=∠ABC-∠ABD=34°．