[PDF] Completion of finding proofs for generalized Langley's problems in elementary geometry (DRAFT/20180609)

現代数学2016年2月号掲載「初等幾何で整角四角形を完全制覇」より訳出
Hiroshi Saito (斉藤 浩)

2015年10月に，従来初等幾何による証明が見つかっていなかったものも含む全ての整角四角形問題の初等幾何による証明を構築する汎用的手法である「外心３つ法」がaerile_re氏により発見されました（アーカイブへのリンクです）．月刊誌「現代数学」2016年2月号に，その紹介記事を書かせていただきましたが，これは日本語圏内だけの紹介に留めておくべきものではないと考え，同記事の英語版を作成し，ここに公開します．ただし当方英語は素人であり，文法からして怪しい可能性があるため，DRAFTとしての公開とさせていただきます．元記事をお持ちの方で誤訳のご指摘等ありましたら，当方ツイッターまでお知らせください．

なお，日本と海外での用語の使い方の差異から，一部表現を変えているところがあります．まず「整角四角形」は，直訳に近い quadrangle with integer angles を使っていますが，1975年に Colin E.Tripp が使い始めた adventitious quadrangle (偶然の角度) も使っています．また，「整角四角形問題」という切り口の用語は英語では見当たらないので， generalized Langley's problem (一般化されたラングレーの問題) という表現を用いています．

雑誌「現代数学」に掲載した日本語の記事は，2018年9月発売「パズルな数学・数学なパズル　数学パズルにトドメをさす？！　第１集」（現代数学社）にも収録しています．

John Frankland Rigby博士（Apr.22nd 1933 - Dec.29th 2014）に捧ぐ

aerile_re氏の発見に驚き，雑誌に紹介記事を書いた後，今回証明が発見された一部の問題を除く全ての整角四角形の初等幾何による証明の体系的探索を行った論文を1978年に発表され未解決問題を宿題として残されたJ. F. Rigby先生が，今回の発見のわずか１年前に亡くなられていたことを，ネットの検索で知りました．生前にこの結果をご報告したかったものです．