月刊「理系への数学」幾何大王からの挑戦状
角度の問題 #20 解答例
→問題

答え ∠DCA=10°

証明

∠BCD=20°,∠CDB=140°.
∠CDBの二等分線と, ∠ABDの二等分線の交点をEとすると, ∠ABE=∠EBD=10°, ∠DEB=∠CDB/2-∠EBD=60°.
AとDは直線BEを軸に対称の位置にあるので, ∠DEA=2∠DEB=120°.
BとCは直線DEを軸に対称の位置にあるので, ∠CED=∠DEB=60°, ∠DCE=∠EBD=10°.
∠CED+∠DEA=180°より,Eは線分AC上にあり, ∠DCA=∠DCE=10°.